Как решить уравнение: tgx - ctgx - 1 = 0

Чтобы решить уравнение $\tan(x) - \cot(x) - 1 = 0$, давайте преобразуем его шаг за шагом.

1. Запишем уравнение:

   $$\tan(x) - \cot(x) - 1 = 0$$

   Переходя к более удобной форме, можно выразить $\cot(x)$ через $\tan(x)$. Напоминаю, что $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$.

2. Подставим $\cot(x)$:

   $$\tan(x) - \frac{1}{\tan(x)} - 1 = 0$$

3. Умножим обе части уравнения на $\tan(x)$, чтобы избавиться от дроби. (При этом важно учитывать, что $\tan(x) \neq 0$):

   $$\tan^2(x) - 1 - \tan(x) = 0$$

   Теперь мы имеем квадратное уравнение по $\tan(x)$.

4. Преобразуем уравнение в стандартную форму квадратного уравнения:

   $$\tan^2(x) - \tan(x) - 1 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$\tan(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$. Подставляем в формулу:

   $$\tan(x) = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$$ $$\tan(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$$ $$\tan(x) = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

6. Получаем два возможных значения для $\tan(x)$:

   $$\tan(x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad \tan(x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

7. Найдем $x$, используя арктангенс.
   Для каждого значения $\tan(x)$ находим $x$:

   • Для $\tan(x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

     $$x = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$$

     Это значение можно выразить как определённый угол или использовать численные методы для вычисления.

   • Для $\tan(x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$:

     $$x = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)$$

8. Решение уравнения. Поскольку тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, общее решение для $x$ будет:

   $$x = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + k\pi$$