Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Для решения задачи введем несколько обозначений. Пусть время, которое требуется первому экскаватору для выполнения работы, равно $x$ часов, а время, которое требуется второму экскаватору, равно $y$ часов.

Из условия задачи известно, что второй экскаватор выполняет работу на 4 часа медленнее первого, то есть:

Также известно, что два экскаватора, работая одновременно, выполняют работу за 3 ч 45 мин, что эквивалентно 3,75 часа. Если первый экскаватор выполняет работу за $x$ часов, то его рабочая скорость (объем работы, который он выполняет за 1 час) будет $\frac{1}{x}$, а скорость второго экскаватора, который выполняет работу за $y$ часов, будет $\frac{1}{y}$.

Так как два экскаватора работают одновременно, их общая скорость работы составит сумму их индивидуальных скоростей:

Подставим $y = x + 4$ в это уравнение:

Теперь решим это уравнение.

Приведем дроби с левой стороны к общему знаменателю:

Упростим числитель:

Для удобства работы с дробью, переведем 3,75 в обыкновенную дробь:

Тогда уравнение примет вид:

Теперь умножим обе стороны уравнения на 15 и на $x(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Переносим все элементы в одну сторону:

Упростим:

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:

Таким образом, получаем два возможных значения для $x$:

или

Так как время не может быть отрицательным, оставляем только $x = 6$.

Теперь, зная, что $x = 6$, можем найти $y$:

Ответ: Первый экскаватор выполняет работу за 6 часов, второй экскаватор — за 10 часов.