Найдите производную функции y=(1/x+8)(5x-2)

Для нахождения производной функции $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x - 2)$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций.

Функция $y$ представляет собой произведение двух функций:

• $f(x) = \frac{1}{x} + 8$

• $g(x) = 5x - 2$

Правило дифференцирования произведения:

Теперь вычислим производные этих функций:

1. Производная от $f(x) = \frac{1}{x} + 8$:

   • Производная от $\frac{1}{x}$ — это $-\frac{1}{x^2}$.

   • Производная от константы 8 — это 0.

   Таким образом, $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

2. Производная от $g(x) = 5x - 2$:

   • Производная от $5x$ — это 5.

   • Производная от $-2$ — это 0.

   Таким образом, $g'(x) = 5$.

Теперь, применяя правило произведения:

Подставляем найденные производные:

Упростим это выражение:

Теперь представим всё под одним знаменателем:

Приведем к общему знаменателю:

Теперь упростим числитель: