log₄x + log₄(x - 6) = 2

Для того чтобы решить уравнение $\log_4{x} + \log_4{(x - 6)} = 2$, воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойство логарифмов:
   Мы знаем, что $\log_b{a} + \log_b{c} = \log_b{(a \cdot c)}$, где $b$ — основание логарифма, $a$ и $c$ — аргументы логарифмов.

   Применим это к нашему уравнению:

   $$\log_4{x} + \log_4{(x - 6)} = \log_4{(x \cdot (x - 6))}$$

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   $$\log_4{(x(x - 6))} = 2$$

2. Применим определение логарифма:
   Логарифм с основанием 4 равен 2, если число $x(x - 6)$ равно $4^2 = 16$. То есть:

   $$x(x - 6) = 16$$

3. Решаем квадратное уравнение:
   Раскроем скобки:

   $$x^2 - 6x = 16$$

   Переносим все члены на одну сторону:

   $$x^2 - 6x - 16 = 0$$

   Это квадратное уравнение, которое решим с помощью формулы для нахождения корней:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -6$, $c = -16$. Подставим значения:

   $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm 10}{2}$$

4. Находим корни:

   $$x = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   или

   $$x = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

5. Проверяем корни:
   Логарифмы определены только для положительных аргументов. В нашем уравнении логарифм $\log_4{x}$ и $\log_4{(x - 6)}$ требуют, чтобы $x > 0$ и $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$.

   Проверяя оба корня:

   • $x = 8$: оба логарифма определены, это решение подходит.

   • $x = -2$: значение $x - 6 = -2 - 6 = -8$, что меньше нуля, значит, это решение не подходит.

Таким образом, правильное решение уравнения — $x = 8$.