2log(7)32-log(7)256-2log(7)14

Для того чтобы решить выражение $2\log_7 32 - \log_7 256 - 2\log_7 14$, начнем с преобразования каждого из логарифмов с использованием свойств логарифмов.

1. Применим свойство: $a \log_b x = \log_b x^a$.

   • $2\log_7 32 = \log_7 32^2 = \log_7 1024$,

   • $2\log_7 14 = \log_7 14^2 = \log_7 196$.

   Таким образом, выражение превращается в:

   $$\log_7 1024 - \log_7 256 - \log_7 196.$$

2. Применим свойство: $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$.

   Применяя это свойство, получаем:

   $$\log_7 \left( \frac{1024}{256} \right) - \log_7 196.$$

3. Упростим дробь $\frac{1024}{256}$:

   $$\frac{1024}{256} = 4.$$

   Тогда выражение будет выглядеть так:

   $$\log_7 4 - \log_7 196.$$

4. Опять применим свойство: $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$:

   $$\log_7 \left( \frac{4}{196} \right).$$

5. Упростим дробь $\frac{4}{196}$:

   $$\frac{4}{196} = \frac{1}{49}.$$

   Таким образом, выражение сводится к:

   $$\log_7 \left( \frac{1}{49} \right).$$

6. Используем свойство: $\log_b \frac{1}{x} = -\log_b x$:

   $$\log_7 \left( \frac{1}{49} \right) = -\log_7 49.$$

7. Вспоминаем, что $49 = 7^2$, и используем свойство: $\log_b b^a = a$:

   $$\log_7 49 = \log_7 7^2 = 2.$$

   Следовательно:

   $$-\log_7 49 = -2.$$

Ответ: $-2$.