Log(2)x-2log(x)2=-1 подробно

Понимаю запись как уравнение
$\displaystyle \log_{2}x - 2\log_{x}2 = -1$.

1) Область определения.
Нужны $x>0$ и $x\ne 1$ (основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равно 1; аргументы логарифмов положительны).

2) Замена.
Положим $a=\log_{2}x$. Тогда $x=2^{a}$ и, по формуле смены основания,
$\displaystyle \log_{x}2=\frac{1}{\log_{2}x}=\frac{1}{a}$.

Подставляем в уравнение:

3) Решаем полученное уравнение.
Умножим на $a\neq 0$:

Квадратное раскладывается:

4) Возвращаемся к $x$.
$a=\log_{2}x$, значит:

• при $a=1$: $x=2^{1}=2$;

• при $a=-2$: $x=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$.

Обе точки удовлетворяют ОДЗ.

5) Проверка.

• $x=2:\; \log_{2}2-2\log_{2}2=1-2=-1$ — верно.

• $x=\dfrac{1}{4}:\; \log_{2}\dfrac14=-2,\; \log_{\frac14}2=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12$.
  Тогда $-2-2\cdot\left(-\dfrac12\right)=-2+1=-1$ — верно.

Ответ: $x\in\left\{2,\; \dfrac{1}{4}\right\}.$