При каких значениях х имеет смысл выражение √(6-х)(3х+4,5)?

Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть

Разберём по шагам.

1. Найдём нули множителей
   Решаем уравнения:

   • $6 - x = 0 \Rightarrow x = 6$;

   • $3x + 4{,}5 = 0 \Rightarrow 3x = -4{,}5 \Rightarrow x = -\dfrac{4{,}5}{3} = -1{,}5$.

   Эти точки делят числовую прямую на промежутки:
   $(-\infty; -1{,}5),\; [-1{,}5; 6],\; (6; +\infty)$.

2. Определим знак произведения на каждом промежутке

   Возьмём по одному «тестовому» значению из каждого промежутка.

   • Для $x < -1{,}5$, например $x = -2$:
     $6 - x = 6 - (-2) = 8 > 0$
     $3x + 4{,}5 = 3 \cdot (-2) + 4{,}5 = -6 + 4{,}5 = -1{,}5 < 0$
     Произведение $> 0 \cdot < 0 = < 0$.
     Значит, на $(-\infty; -1{,}5)$ выражение отрицательно.

   • Для $-1{,}5 \le x \le 6$, например $x = 0$:
     $6 - x = 6 - 0 = 6 > 0$
     $3x + 4{,}5 = 0 + 4{,}5 = 4{,}5 > 0$
     Произведение $>0 \cdot >0 = >0$.
     На этом промежутке знак произведения не меняется, а в концах ($x = -1{,}5$ и $x = 6$) оно равно нулю.
     Значит, на $[-1{,}5; 6]$ произведение неотрицательно.

   • Для $x > 6$, например $x = 7$:
     $6 - x = 6 - 7 = -1 < 0$
     $3x + 4{,}5 = 21 + 4{,}5 = 25{,}5 > 0$
     Произведение $<0 \cdot >0 = <0$.
     Значит, на $(6; +\infty)$ оно отрицательно.

3. Учитываем условие под корнем

   Корень $\sqrt{(6 - x)(3x + 4{,}5)}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда
   $(6 - x)(3x + 4{,}5) \ge 0$.

   По знакам видно, что это выполняется только на промежутке

   $$x \in [-1{,}5; 6].$$

Итак, выражение $\sqrt{(6 - x)(3x + 4{,}5)}$ имеет смысл при всех $x$ из отрезка $[-1{,}5; 6]$.