Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Возьмём два нечётных числа. По определению нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое. Пусть это $2a+1$ и $2b+1$, где $a$ и $b$ — целые.

Сложим их:

Получилось число вида $2\cdot(\text{целое})$, то есть чётное по определению. Значит, сумма двух нечётных чисел чётна.

Альтернативно, на языке остаточных классов по модулю 2: нечётные $\equiv 1 \pmod{2}$. Тогда

то есть сумма имеет остаток 0 при делении на 2, значит она чётна.

Интуитивная комбинаторная картина: у каждого из двух нечётных наборов предметов все предметы, кроме одного, можно разбить на пары; две «лишние» штуки вместе образуют ещё одну пару. В итоге всё разбивается на пары — это и есть признак чётности.