Из точки к плоскости треугольника со сторонами 13, 14 и 15 проведён перпендикуляр, основание которого — вершина угла, противолежащего стороне 14. Расстояние от данной точки до этой стороны равно 20. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.

Обозначу треугольник $ABC$ со сторонами $BC=14,\; CA=15,\; AB=13$. Проекция точки $P$ на плоскость треугольника — вершина $A$ (угол напротив стороны 14). Тогда кратчайшее расстояние от $P$ до стороны $BC$ равно

где $h$ — искомое расстояние от $P$ до плоскости треугольника.

Найдём расстояние от $A$ до $BC$, то есть высоту $h_a$. По формуле Герона площадь треугольника со сторонами $13,14,15$:

Тогда

По условию расстояние от $P$ до стороны $BC$ равно $20$. Следовательно,

Ответ: $16$.