Найти наибольшее или наименьшее значение функции: \( y = x^2 - 7x + 12 \).

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции $y = x^2 - 7x + 12$, нужно использовать метод нахождения экстремумов квадратичной функции.

1. Запишем функцию:

   $$y = x^2 - 7x + 12$$

2. Вычислим производную функции, чтобы найти критические точки:

   $$\frac{dy}{dx} = 2x - 7$$

   Для нахождения экстремума приравняем производную к нулю:

   $$2x - 7 = 0$$ $$x = \frac{7}{2}$$

3. Найдем вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 2$$

   Поскольку вторая производная положительная ($\frac{d^2y}{dx^2} > 0$), это указывает на наличие минимума в точке $x = \frac{7}{2}$.

4. Найдем значение функции в точке экстремума:
   Подставим $x = \frac{7}{2}$ в исходную функцию:

   $$y = \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 7 \times \frac{7}{2} + 12$$ $$y = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 12$$

   Переведем все в общую дробь:

   $$y = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{48}{4} = \frac{49 - 98 + 48}{4} = \frac{-1}{4}$$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = x^2 - 7x + 12$ равно $\frac{-1}{4}$, и оно достигается в точке $x = \frac{7}{2}$.