Решите уравнение: x в 5 степени-x в 4 -х+1=0 х5-х4-х+1=0

Рассмотрим уравнение $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$.

Для начала можно попробовать подобрать корни уравнения с помощью метода подбора. Проверим несколько целых чисел, подставив их в уравнение:

1. Подставим $x = 1$:

   $$1^5 - 1^4 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0.$$

   Это решение уравнения, то есть $x = 1$ — корень.

Теперь, зная, что $x = 1$ является корнем, можно разложить многочлен $x^5 - x^4 - x + 1$ на множители. Для этого воспользуемся делением многочлена на $x - 1$ с помощью деления в столбик или методом синтетического деления.

Разделим $x^5 - x^4 - x + 1$ на $x - 1$:

1. Начинаем делить $x^5 - x^4 - x + 1$ на $x - 1$.

2. Получаем частное $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ и остаток 0.

Таким образом, исходное уравнение можно представить как:

Теперь нужно решить уравнение $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$. Это уравнение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Выразим его как:

Таким образом, решение этого уравнения — это корни из единицы. Корни уравнения $x^5 = 1$ — это все комплексные числа, которые являются пятитысячными корнями из единицы. Эти корни можно записать как:

Рассмотрим эти корни:

• Для $k = 0$ получаем $x = 1$, что уже было найдено.

• Для $k = 1, 2, 3, 4$ получаем остальные корни, которые являются комплексными числами.

Итак, все корни уравнения $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$ следующие:

• $x = 1$ (действительное решение),

• $x = e^{2\pi i / 5}$, $x = e^{4\pi i / 5}$, $x = e^{6\pi i / 5}$, $x = e^{8\pi i / 5}$ (комплексные решения).

Таким образом, у уравнения $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$ есть один действительный корень $x = 1$ и четыре комплексных корня, которые можно выразить в виде степени комплексной экспоненты.