2log3(-x)=1+log3(x+6)

Решим уравнение $2 \log_3 (-x) = 1 + \log_3 (x+6)$.

1. Используем логарифмическое свойство: преобразуем выражение с $2 \log_3 (-x)$. С помощью свойства $a \log_b (c) = \log_b (c^a)$, получаем:

   $$\log_3((-x)^2) = 1 + \log_3(x+6)$$

   То есть, у нас получается:

   $$\log_3 (x^2) = 1 + \log_3 (x+6)$$

2. Переносим 1 на левую сторону: Теперь из обеих частей уравнения можно вычесть $\log_3 (x+6)$, а 1 преобразуем в логарифм с основанием 3, т.е. $1 = \log_3 3$. Тогда получаем:

   $$\log_3 (x^2) - \log_3 (x+6) = \log_3 3$$

3. Используем свойство логарифмов: $\log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$, и получаем:

   $$\log_3 \left( \frac{x^2}{x+6} \right) = \log_3 3$$

4. Приравниваем аргументы: Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, то:

   $$\frac{x^2}{x+6} = 3$$

5. Решаем квадратное уравнение: Умножаем обе части на $x+6$, чтобы избавиться от дроби:

   $$x^2 = 3(x + 6)$$

   Раскрываем скобки:

   $$x^2 = 3x + 18$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 3x - 18 = 0$$

   Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$

   Тогда корни:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{3 + 9}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x = \frac{3 - 9}{2} = -3$$

6. Проверка на допустимые значения: Не забудем, что в логарифмах аргументы должны быть положительными. Проверим оба корня:

   • Для $x = 6$, в выражении $\log_3 (-x)$ получаем $\log_3 (-6)$, что невозможно, так как логарифм от отрицательного числа не существует.

   • Для $x = -3$, в выражении $\log_3 (-x)$ получаем $\log_3 3$, что допустимо. Проверим, удовлетворяет ли это уравнению.

7. Проверка корня $x = -3$: Подставляем $x = -3$ в исходное уравнение:

   $$2 \log_3 (-(-3)) = 1 + \log_3 (-3 + 6)$$

   Это преобразуется в:

   $$2 \log_3 3 = 1 + \log_3 3$$