Дана функция: у=0,5х^4-4х^2. Найти: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3].

Дана функция $y = 0,5x^4 - 4x^2$. Решим задачу по частям:

а) Промежутки возрастания и убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции нужно найти её производную $y'(x)$, а затем изучить знаки производной.

1. Находим производную функции:

2. Находим критические точки, при которых производная равна нулю:

Таким образом, критические точки — $x = 0, -2, 2$.

3. Теперь исследуем знаки производной на промежутках, образованных этими точками: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.

• Для $x \in (-\infty, -2)$, например, для $x = -3$:

  $$y'(-3) = 2(-3)^3 - 8(-3) = -54 + 24 = -30 \quad (\text{отрицательно}).$$

  Значит, функция убывает на $(-\infty, -2)$.

• Для $x \in (-2, 0)$, например, для $x = -1$:

  $$y'(-1) = 2(-1)^3 - 8(-1) = -2 + 8 = 6 \quad (\text{положительно}).$$

  Значит, функция возрастает на $(-2, 0)$.

• Для $x \in (0, 2)$, например, для $x = 1$:

  $$y'(1) = 2(1)^3 - 8(1) = 2 - 8 = -6 \quad (\text{отрицательно}).$$

  Значит, функция убывает на $(0, 2)$.

• Для $x \in (2, \infty)$, например, для $x = 3$:

  $$y'(3) = 2(3)^3 - 8(3) = 54 - 24 = 30 \quad (\text{положительно}).$$

  Значит, функция возрастает на $(2, \infty)$.

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на промежутках $(-2, 0)$ и $(2, \infty)$.

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(0, 2)$.

б) Точки экстремума

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции происходят в точках, где её производная равна нулю и меняет знак.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что критические точки функции — это $x = -2$, $x = 0$, и $x = 2$.

Теперь проверим, является ли каждая из этих точек точкой экстремума.

• В точке $x = -2$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, что означает, что в этой точке функция имеет минимум.

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, что означает, что в этой точке функция имеет максимум.

• В точке $x = 2$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, что также означает, что в этой точке функция имеет минимум.

Таким образом, точки экстремума:

• Минимум в точках $x = -2$ и $x = 2$.

• Максимум в точке $x = 0$.

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке $[-1, 3]$ нужно оценить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Подставим значения концов отрезка в исходную функцию:

• Для $x = -1$:

  $$y(-1) = 0,5(-1)^4 - 4(-1)^2 = 0,5(1) - 4(1) = 0,5 - 4 = -3,5.$$

• Для $x = 3$:

  $$y(3)=0,5(3{}^{}$$