Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции \( y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 \).

Решение.
Найдём производную:

Критические точки: $x=-1,\,0,\,1$.

Знак $y'$: множитель $x^2\ge0$, поэтому знак задаёт $x^2-1$.

• При $|x|>1$: $x^2-1>0\Rightarrow y'>0$ — функция возрастает.

• При $|x|<1$: $x^2-1<0\Rightarrow y'<0$ — функция убывает.

• В $x=0$: $y'=0$, но знак слева и справа одинаковый (отрицательный), значит экстремума нет (стационарная точка перегиба).

Следовательно,

• промежутки возрастания: $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$;

• промежутки убывания: $(-1,0)\cup(0,1)$.

Точки экстремума (проверим, например, по вторым производным $y''=4x^3-2x$):

• при $x=-1$: $y''(-1)=-2<0$ — локальный максимум,

  $$y(-1)=\tfrac15(-1)^5-\tfrac13(-1)^3=-\tfrac15+\tfrac13=\tfrac{2}{15}.$$

• при $x=1$: $y''(1)=2>0$ — локальный минимум,

  $$y(1)=\tfrac15-\tfrac13=-\tfrac{2}{15}.$$

Ответ: возрастает на $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$, убывает на $(-1,0)\cup(0,1)$; локальный максимум в точке $(-1,\;2/15)$, локальный минимум в точке $(1,\;-2/15)$. В $x=0$ экстремума нет.