Найдите все целые решения неравенства (x+1)(5-x)>0.

Для решения неравенства $(x+1)(5-x) > 0$ будем искать, при каких значениях $x$ произведение двух множителей будет положительным.

1. Решим уравнение $(x+1)(5-x) = 0$:

   Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Решаем:

   $$x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad 5 - x = 0$$

   Это дает:

   $$x = -1 \quad \text{или} \quad x = 5$$

   Таким образом, при $x = -1$ и $x = 5$ выражение $(x+1)(5-x) = 0$.

2. Анализируем знаки произведения на интервалах:

   У нас есть два значения, которые разделяют ось чисел на три интервала: $(- \infty, -1)$, $(-1, 5)$, и $(5, \infty)$. Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов.

   • Для интервала $(- \infty, -1)$, например, возьмем $x = -2$:

     $$(x+1)(5-x) = (-2+1)(5 - (-2)) = (-1)(7) = -7$$

     Это отрицательное число.

   • Для интервала $(-1, 5)$, например, возьмем $x = 0$:

     $$(x+1)(5-x) = (0+1)(5-0) = 1 \times 5 = 5$$

     Это положительное число.

   • Для интервала $(5, \infty)$, например, возьмем $x = 6$:

     $$(x+1)(5-x) = (6+1)(5-6) = 7 \times (-1) = -7$$

     Это отрицательное число.

3. Интерпретация решения:

   Нас интересуют значения $x$, при которых произведение $(x+1)(5-x)$ больше нуля. Это происходит на интервале $(-1, 5)$, где выражение положительно.

4. Ищем целые решения:

   Целые числа на интервале $(-1, 5)$ — это $x = 0, 1, 2, 3, 4$.

Таким образом, целые решения неравенства $(x+1)(5-x) > 0$ — это $x = 0, 1, 2, 3, 4$.