Найти производную функции и её наименьшее значение: y = √(x² - 6x + 13)

Для того чтобы найти производную функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 13}$ и её наименьшее значение, выполним несколько шагов.

Шаг 1: Упростим функцию

Прежде всего, заметим, что выражение под квадратным корнем можно преобразовать в полный квадрат:

Таким образом, функция примет вид:

Шаг 2: Найдем производную функции

Используем правило дифференцирования сложных функций. Пусть:

Тогда $y = \sqrt{u}$, и производная $y$ по $x$ будет:

Найдем производную $u$ по $x$:

Теперь, подставив $u = (x - 3)^2 + 4$ и $\frac{du}{dx} = 2(x - 3)$ в выражение для $y'$, получаем:

Упростим:

Шаг 3: Находим наименьшее значение функции

Теперь найдем наименьшее значение функции $y$. Так как под корнем находится выражение $(x - 3)^2 + 4$, оно всегда неотрицательно, а минимальное значение будет достигаться, когда $(x - 3)^2$ минимально, то есть при $x = 3$.

Подставляем $x = 3$ в выражение для $y$:

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно 2.

Ответ: Производная функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 13}$ равна $y' = \frac{x - 3}{\sqrt{(x - 3)^2 + 4}}$, а наименьшее значение функции равно 2.