Найдите функцию, для которой F(x) = x² - sin2x - 1 является первообразной.

Для того чтобы найти функцию, которая является первообразной для функции $F(x) = x^2 - \sin(2x) - 1$, нужно найти её неопределённый интеграл.

Рассмотрим каждый член по отдельности:

1. $x^2$: Первообразная от $x^2$ — это $\frac{x^3}{3}$, поскольку $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^2$.

2. $-\sin(2x)$: Первообразная от $-\sin(2x)$ можно найти, используя правило интегрирования функции синуса с учётом множителя. Первообразная от $\sin(2x)$ равна $-\frac{1}{2} \cos(2x)$, потому что при дифференцировании $-\frac{1}{2} \cos(2x)$ получается $-\sin(2x)$, а множитель $\frac{1}{2}$ появляется из-за производной внутренней функции $2x$. То есть, первообразная от $-\sin(2x)$ — это $\frac{1}{2} \cos(2x)$.

3. $-1$: Первообразная от $-1$ — это $-x$, так как $\frac{d}{dx}(-x) = -1$.

Теперь собираем все результаты вместе. Первообразная от $F(x) = x^2 - \sin(2x) - 1$ будет:

где $C$ — произвольная константа интегрирования.