Докажите, что F является первообразной для функции f на R: f(x) = 2x + 3, F(x) = x² + 3x + 1.

Чтобы показать, что $F$ является первообразной для $f$ на $\mathbb{R}$, нужно проверить определение: функция $F$ — первообразная $f$ на $\mathbb{R}$, если $F$ дифференцируема на $\mathbb{R}$ и для каждого $x\in\mathbb{R}$ выполняется $F'(x)=f(x)$.

Дана $f(x)=2x+3$ и $F(x)=x^2+3x+1$.

Вычислим производную $F$:

Получили $F'(x)=2x+3=f(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$. Следовательно, по определению, $F$ является первообразной функции $f$ на $\mathbb{R}$.