Вычислите tg(α−π/4), если cosα=−9/41 и α∈(π;3π/2). Приведите полученную дробь к несократимому виду. Запишите в ответ числитель этой дроби.

Для вычисления значения $\tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ используем формулу для тангенса разности углов:

Зная, что $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, формула упрощается:

Для того чтобы найти $\tan\alpha$, используем известную информацию о косинусе. Нам дано $\cos\alpha = -\frac{9}{41}$, а угол $\alpha$ находится в третьей четверти, то есть $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. В третьей четверти синус и косинус имеют одинаковый знак, и они оба отрицательные.

Из формулы Пифагора находим синус угла $\alpha$:

Подставляем значение $\cos\alpha = -\frac{9}{41}$:

Тогда $\sin\alpha = -\frac{40}{41}$, так как синус в третьей четверти отрицателен.

Теперь вычислим $\tan\alpha$:

Теперь можем подставить это значение в формулу для $\tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$:

Числитель этой дроби равен 31.