Подумай и ответь.
Четверо ребят при входе в театр кошек Ю. Куклачева отда-
ли свои шапки, а при выходе получили их обратно. Сколько
существует вариантов, при которых каждый из них получит
чужую шапку?

Нужно посчитать, сколько существует способов раздать 4 шапки так, чтобы никто не получил свою.

Обозначим ребят как 1, 2, 3, 4. Если бы шапки можно было раздать любым образом, то вариантов было бы:

Но нужно исключить случаи, когда кто-то получает свою шапку.

Используем способ подсчёта через исключения:

• Всего вариантов: $24$.

• Вычтем варианты, где хотя бы один человек получил свою шапку.

Количество перестановок, где:

• один конкретный человек получил свою шапку: $3! = 6$. Таких людей 4, значит вычитаем $4 \cdot 6 = 24$.

• но случаи с двумя правильными шапками мы вычли дважды, поэтому прибавляем: $\binom42 \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12$.

• случаи с тремя правильными шапками невозможны (если трое получили свои, четвёртый тоже получает свою).

• случай, когда все четыре получили свои шапки: $1$, его нужно снова вычесть.

Получаем:

Здесь нужно учесть ещё один момент: при подсчёте с включениями-исключениями для четырёх элементов последний член должен быть $+1$, а не вычитаться:

Итак, существует 9 вариантов, при которых каждый из четырёх ребят получит чужую шапку.