По контрольной работе по математике 8 баллов получили 48 учащихся, по физике — 37, по русскому языку — 42. По математике или физике 8 баллов получили 75 учащихся, по математике или русскому — 66 учеников, по всем трём предметам 8 баллов получили 4 ученика. Сколько учащихся получили хотя бы одну 8? Сколько учащихся получили только одну 8?

Обозначим множества: \(M\) — ученики с 8 баллами по математике, \(F\) — по физике, \(R\) — по русскому языку. Из условия:

• \(|M| = 48\), \(|F| = 37\), \(|R| = 42\);
• \(|M \cup F| = 75\), \(|M \cup R| = 66\);
• \(|M \cap F \cap R| = 4\).

Найдём пересечения:

\(|M \cap F| = |M| + |F| - |M \cup F| = 48 + 37 - 75 = 10\).

\(|M \cap R| = |M| + |R| - |M \cup R| = 48 + 42 - 66 = 24\).

Пусть \(a\) — только математика, \(b\) — только физика, \(c\) — только русский, \(d\) — математика и физика (не русский), \(e\) — математика и русский (не физика), \(f\) — физика и русский (не математика), \(g = 4\) — все три.

Из уравнений:

• \(a + d + e + 4 = 48\)
• \(b + d + f + 4 = 37\)
• \(c + e + f + 4 = 42\)
• \(a + b + d + e + f + 4 = 75\)
• \(a + c + d + e + f + 4 = 66\)

Находим: \(d = 6\), \(e = 20\), \(a = 18\). Также \(b + f = 27\), \(c + f = 18\).

Количество хотя бы с одной восьмёркой: \(a + b + c + d + e + f + 4 = 48 + b + c + f\).

Количество только с одной восьмёркой: \(a + b + c = 18 + b + c\).

Значения \(b\), \(c\) и \(f\) не определяются однозначно без дополнительных данных (например, \(|F \cup R|\)). Поэтому задача не имеет единственного ответа. Можно лишь указать возможные границы: если \(f = 0\), то \(b = 27\), \(c = 18\), всего хотя бы одна восьмёрка — 93, только одна — 45; если \(f = 18\), то \(b = 9\), \(c = 0\), всего — 75, только одна — 18. Для точного ответа нужны дополнительные сведения.

0 0 Пожаловаться