Решите уравнение в натуральных числах: x²+23=24y².

Уравнение \(x^2 + 23 = 24y^2\) можно переписать как \(x^2 - 24y^2 = -23\). Это частный случай уравнения Пелля.

Сначала найдём наименьшее натуральное решение подбором: при \(y = 1\) получаем \(x^2 = 24 - 23 = 1\), значит \(x = 1\). Итак, \((1; 1)\) — решение.

Для уравнения \(x^2 - 24y^2 = 1\) наименьшее решение — \((5; 1)\), так как \(5^2 - 24 \cdot 1^2 = 1\).

Все натуральные решения исходного уравнения можно получить по формуле: \[ x + y\sqrt{24} = (1 + \sqrt{24})(5 + \sqrt{24})^n, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] или по рекуррентным соотношениям: \[ x_{n+1} = 5x_n + 24y_n, \quad y_{n+1} = x_n + 5y_n, \] начиная с \(x_0 = 1, y_0 = 1\).

Первые несколько решений:

• \(n = 0\): \(x = 1, y = 1\);
• \(n = 1\): \(x = 29, y = 6\);
• \(n = 2\): \(x = 289, y = 59\);
• \(n = 3\): \(x = 2891, y = 590\) и так далее.

Также существует вторая серия решений, получаемая из \((19; 4)\) (проверьте: \(19^2 - 24 \cdot 4^2 = 361 - 384 = -23\)):

• \(x = 19, y = 4\);
• \(x = 191, y = 39\);
• \(x = 1891, y = 386\) и так далее.

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

0 0 Пожаловаться