найдите наибольшее значение функции y=2x+72/x+9 на отрезке [-18;-0,5]

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = \frac{2x + 72}{x + 9}$ на отрезке $[-18; -0,5]$, нужно рассмотреть критические точки функции, а также проверить значения функции на концах отрезка.

1. Обозначим функцию:

   $$f(x) = \frac{2x + 72}{x + 9}$$

2. Найдем производную функции $f(x)$: Чтобы определить критические точки, найдём первую производную $f(x)$ и приравняем её к нулю. Функция является дробной, поэтому воспользуемся правилом производной для отношения:

   $$f'(x) = \frac{(2)(x + 9) - (2x + 72)(1)}{(x + 9)^2}$$

   Упростим числитель:

   $$f'(x) = \frac{2x + 18 - 2x - 72}{(x + 9)^2} = \frac{-54}{(x + 9)^2}$$

   Поскольку в числителе у нас константа $-54$, производная $f'(x)$ равна нулю при любых значениях $x$, но она нигде не обращается в ноль. Это означает, что критических точек, где производная равна нулю, у функции нет.

3. Определение поведения функции: Так как нет точек, где $f'(x) = 0$, посмотрим на поведение функции на границах отрезка $x = -18$ и $x = -0,5$.

4. Подставим значения концов отрезка:

   • При $x = -18$:

     $$f(-18) = \frac{2(-18) + 72}{-18 + 9} = \frac{-36 + 72}{-9} = \frac{36}{-9} = -4$$

   • При $x = -0,5$:

     $$f(-0,5) = \frac{2(-0,5) + 72}{-0,5 + 9} = \frac{-1 + 72}{8,5} = \frac{71}{8,5} \approx 8,35$$

5. Сравним значения на концах отрезка: На $x = -18$ значение функции равно $-4$, а на $x = -0,5$ значение функции примерно равно $8,35$.

6. Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-18; -0,5]$ равно $8,35$, и оно достигается при $x = -0,5$.