Даны координаты точек A, B, C: A(7; -4; 1), B(12; -3; 1), C(10; 1; 5). Найти: 1) координаты векторов AB и AC; 2) длины векторов AB и AC; 3) угол между векторами AB и AC.

Для решения задачи начнем по очереди с каждого пункта.

1. Координаты векторов AB и AC

Вектор AB можно найти как разницу координат точек B и A:
$\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

Подставляем значения:
$\vec{AB} = (12 - 7, -3 - (-4), 1 - 1) = (5, 1, 0)$

Аналогично для вектора AC:
$\vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$

Подставляем значения:
$\vec{AC} = (10 - 7, 1 - (-4), 5 - 1) = (3, 5, 4)$

Таким образом, координаты векторов:

• AB = (5, 1, 0)

• AC = (3, 5, 4)

2. Длины векторов AB и AC

Длину вектора можно найти по формуле:
$|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Для вектора AB:
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.10$

Для вектора AC:
$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} \approx 7.07$

Таким образом, длины векторов:

• Длина AB = $\sqrt{26} \approx 5.10$

• Длина AC = $\sqrt{50} \approx 7.07$

3. Угол между векторами AB и AC

Для нахождения угла между двумя векторами используется формула скалярного произведения:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$

Сначала находим скалярное произведение векторов AB и AC:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 4 = 15 + 5 + 0 = 20$