(sin2x+cosx)(sqrt3 + sqrt3tgx) = 0

Для решения уравнения $(\sin(2x) + \cos(x))(\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \tan(x)) = 0$ необходимо решить каждое из выражений в скобках отдельно, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Первый множитель: $\sin(2x) + \cos(x) = 0$

   Используем формулу для $\sin(2x)$:
   $\sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$.

   Таким образом, уравнение становится:

   $$2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) + \cos(x) = 0.$$

   Вынесем $\cos(x)$ за скобки:

   $$\cos(x) \cdot (2 \cdot \sin(x) + 1) = 0.$$

   Это уравнение равно нулю, если либо $\cos(x) = 0$, либо $2 \cdot \sin(x) + 1 = 0$.

   • Первое условие: $\cos(x) = 0$

     $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Второе условие: $2 \cdot \sin(x) + 1 = 0$

     $\sin(x) = -\frac{1}{2}$. Решение этого уравнения:

     $$x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. Второй множитель: $\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \tan(x) = 0$

   Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

   $$\sqrt{3} \cdot (1 + \tan(x)) = 0.$$

   Поскольку $\sqrt{3} \neq 0$, у нас остается:

   $$1 + \tan(x) = 0.$$

   Отсюда $\tan(x) = -1$.

   Решение уравнения $\tan(x) = -1$ дается при:

   $$x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Из полученных решений:

• Для первого множителя: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ или $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$.

• Для второго множителя: $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$.

Таким образом, все решения уравнения — это объединение решений для каждого из множителей.