Выявите логическую структуру логических высказываний и постройте двумя способами их отрицание: а) Все простые числа являются чётными. б) Решением уравнения × + 4 = 11 является число 9 или 5. в) Уравнение х^2 + 5х = 0 является линейным.

Ниже для каждого высказывания указана его логическая форма и два варианта отрицания: (i) в виде «неверно, что …», (ii) эквивалентное упрощённое отрицание без внешнего «неверно».

а) «Все простые числа являются чётными.»

Логическая форма: $\forall x\,(P(x)\rightarrow E(x))$, где $P(x)$ — «$x$ простое», $E(x)$ — «$x$ чётное».

Отрицания:

1. «Неверно, что все простые числа являются чётными.»

2. «Существует хотя бы одно простое число, которое не является чётным», т.е. $\exists x\,(P(x)\land \neg E(x))$.

б) «Решением уравнения $x+4=11$ является число 9 или 5.»

Логическая форма: $S(9)\lor S(5)$, где $S(a)$ — «$a$ является решением $x+4=11$».

(Пояснение: $9+4=13\neq 11$ и $5+4=9\neq 11$, но это уже следствие, не часть формы.)

Отрицания:

1. «Неверно, что решением уравнения $x+4=11$ является число 9 или 5.»

2. «Число 9 не является решением и число 5 не является решением», т.е. $\neg S(9)\land \neg S(5)$.

в) «Уравнение $x^2+5x=0$ является линейным.»

Логическая форма: $L(E)$, где $E$ — данное уравнение, $L$ — предикат «является линейным».

Отрицания:

1. «Неверно, что уравнение $x^2+5x=0$ является линейным.»

2. «Уравнение $x^2+5x=0$ не является линейным (т.е. оно нелинейное/квадратное).»