Y=x^3-6x^2+9x+5 [0;3] найти наибольшее значение

Найду экстремумы и проверю значения на концах отрезка.

1. Производная:
   $f(x)=x^3-6x^2+9x+5$ ⇒ $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
   Критические точки на $[0,3]$: $x=1$ и $x=3$.

2. Проверяю значения функции в точках $x=0,1,3$:
   $f(0)=0-0+0+5=5$,
   $f(1)=1-6+9+5=9$,
   $f(3)=27-54+27+5=5$.

Дополнительно: $f''(x)=6x-12$, значит $f''(1)=-6<0$ — в $x=1$ локальный максимум; $f''(3)=6>0$ — в $x=3$ локальный минимум.

Следовательно, на отрезке $[0;3]$ наибольшее значение функции равно $9$, достигается при $x=1$.