y=7+6x-2x^(3/2)

Пусть $y=f(x)=7+6x-2x^{3/2}$.

Область определения. Из-за корня $x^{3/2}=x\sqrt{x}$ требуется $x\ge 0$.

Производные.

Критические точки и монотонность.
$f'(x)=0 \iff \sqrt{x}=2 \iff x=4$.
На $[0,4)$: $f'(x)>0$ — функция возрастает.
На $(4,\infty)$: $f'(x)<0$ — функция убывает.

Экстремум. Поскольку $f''(x)<0$ при $x>0$, график вогнут вниз, а точка $x=4$ — максимум:

Итак, на $x\ge 0$ функция достигает наибольшего значения $15$ при $x=4$.

Значения на краях и поведение.
$f(0)=7$. При $x\to\infty$ главный член $-2x^{3/2}$, поэтому $f(x)\to -\infty$.

Нули (точки пересечения с осью $Ox$). Решаем $7+6x-2x^{3/2}=0$. Положив $t=\sqrt{x}\,(t\ge0)$, получаем кубическое:

У него один действительный положительный корень $t\approx 3{,}317931$, значит

Следовательно, единственный нуль на $x\ge0$: $x\approx 11{,}01$.

Ключевые точки графика.

• Область: $x\ge0$.

• $y$-пересечение: $(0,7)$.

• Максимум: $(4,15)$.

• Пересечение с $Ox$: $(\approx 11{,}01,\,0)$.

• Вогнута вниз на всём $(0,\infty)$; возрастает на $[0,4]$, убывает на $[4,\infty)$.

Из этого легко эскизировать график: старт в точке $(0,7)$ с наклоном $f'(0)=6$