Ниже — полное исследование функции $f(x)=3x^5-5x^3$ и её график.

1) Область определения и чётность

• Область определения: $\mathbb{R}$.

• $f(-x)=-f(x)$ ⇒ функция нечётная (симметрия относительно начала координат).

2) Нули и знаки

$f(x)=x^3(3x^2-5)=0 \Rightarrow x=0$ (кратность 3) и $x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}\approx\pm1{,}290$.

• На $(-\infty,-\sqrt{5/3})$: $f<0$;

• $(-\sqrt{5/3},0)$: $f>0$;

• $(0,\sqrt{5/3})$: $f<0$;

• $(\sqrt{5/3},\infty)$: $f>0$.

3) Производная, возрастание/убывание, экстремумы

$f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)$. Критические точки: $x=-1,0,1$.
Знаки $f'$:

• $(-\infty,-1)$: $f'>0$ ⇒ $f$ возрастает;

• $(-1,0)$: $f'<0$ ⇒ убывает;

• $(0,1)$: $f'<0$ ⇒ убывает;

• $(1,\infty)$: $f'>0$ ⇒ возрастает.

Экстремумы:

• $x=-1$: переход $+\to-$ ⇒ локальный максимум, $f(-1)=2$.

• $x=0$: знак не меняется (− слева и справа) ⇒ стационарная точка перегиба (горизонтальная), $f(0)=0$.

• $x=1$: переход $−\to+$ ⇒ локальный минимум, $f(1)=-2$.

4) Вогнутость и точки перегиба

$f''(x)=60x^3-30x=30x(2x^2-1)$. Нули $f''$: $x=0,\ \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\approx \pm0{,}7071$.

• $(-\infty,-\tfrac1{\sqrt2})$: вогнута вниз;

• $(-\tfrac1{\sqrt2},0)$: вверх;

• $(0,\tfrac1{\sqrt2})$: вниз;

• $(\tfrac1{\sqrt2},\infty)$