Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье с застёжкой? Объясните почему.

Для того чтобы посчитать количество способов, которыми можно составить ожерелье из 7 бусинок разных цветов с застёжкой, нужно учитывать несколько факторов.

1. Составление ожерелья из бусинок: Ожерелье с застёжкой отличается от обычной цепочки тем, что у него есть фиксированное начало и конец, а не замкнутая форма (как у браслета, например). Это означает, что бусинки можно располагать по порядку, начиная с застёжки, и важно, какое место будет занимать каждая бусинка.

2. Рассмотрим, что у нас есть 7 разных бусинок. Поскольку бусинки все разные, и каждый порядок бусинок будет уникальным, количество способов их размещения на ожерелье без учёта симметрий можно посчитать как количество перестановок из 7 элементов. Это выражается как 7! (7 факториал):

   $$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$$

3. Учёт симметрий: Ожерелье может быть перевёрнуто (его можно развернуть), и это также будет считать за одно и то же расположение бусинок. То есть, перестановка бусинок в обратном порядке будет эквивалентна исходной. Это нужно учесть, деля на 2 количество перестановок:

   $$\frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$$

Таким образом, количество способов составить ожерелье из 7 бусинок разных цветов с застёжкой равно 2520.