Андрей загадывает два случайных числа от 1 до 9 каждое. Найдите вероятность того, что сумма этих чисел делится на 4.

Чтобы найти вероятность того, что сумма двух случайных чисел, выбранных Андреем от 1 до 9, делится на 4, давайте подробно разберем задачу шаг за шагом.

1. Числа, которые Андрей может выбрать:
   Андрей выбирает два числа, каждое из которых принадлежит множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. То есть, всего у нас есть 9 возможных чисел для каждого из двух выборов.

2. Общее количество возможных вариантов:
   Поскольку Андрей выбирает два числа, то количество всех возможных пар чисел (первое и второе) равно произведению числа возможных вариантов для первого числа на число возможных вариантов для второго числа. То есть, общее количество пар равно:

   $$9 \times 9 = 81$$

3. Найдем условие, при котором сумма делится на 4:
   Нужно, чтобы сумма этих двух чисел делилась на 4. Пусть два числа — это $a$ и $b$, тогда нас интересует, чтобы $(a + b) \mod 4 = 0$. Это означает, что остаток от деления суммы чисел на 4 должен быть равен 0.

4. Исследуем возможные остатки чисел по модулю 4:
   Рассмотрим, какие остатки могут быть у чисел от 1 до 9 при делении на 4:

   • Числа, дающие остаток 0: 4, 8

   • Числа, дающие остаток 1: 1, 5

   • Числа, дающие остаток 2: 2, 6

   • Числа, дающие остаток 3: 3, 7

   Теперь нам нужно, чтобы сумма двух чисел $a$ и $b$ делилась на 4, т.е. их остатки по модулю 4 должны в сумме давать 0. Возможные пары остатков, сумма которых делится на 4:

   • Остатки 0 + 0 (например, $4 + 8$)

   • Остатки 1 + 3 (например, $1 + 3$)

   • Остатки 2 + 2 (например, $2 + 6$)

5. Посчитаем количество подходящих пар чисел:

   • Для остатка 0 + 0: Числа, дающие остаток 0, — это 4 и 8. Получается 2 числа, из которых можно составить 2 пары: $(4, 8)$ и $(8, 4)$.

   • Для остатка 1 + 3: Числа, дающие остаток 1, — это 1 и 5, а дающие остаток 3 — это 3 и 7. Таким образом, есть 2 числа с остатком 1 и 2 числа с остатком 3, и их можно комбинировать. Количество таких пар: $2 \times 2 = 4$ (пары: $(1, 3), (1, 7), (5, 3), (5, 7)$).

   • Для остатка 2 + 2: Числа, дающие остаток 2, — это 2 и 6. Получается 2 числа, из которых можно составить 2 пары: $(2, 6)$ и $(6, 2)$.

6. Общее количество подходящих пар:
   Суммируем количество подходящих пар:

   • 2 пары с остатками 0 + 0

   • 4 пары с остатками 1 + 3

   • 2 пары с остатками 2 + 2

   Итого: $2 + 4 + 2 = 8$ подходящих пар.

7. Нахождение вероятности:
   Общее количество возможных пар — 81, а количество подходящих пар — 8. Таким образом, вероятность того, что сумма чисел делится на 4, равна:

   $$\frac{8}{81}$$

Ответ: вероятность того, что сумма двух случайных чисел, выбранных Андреем от 1 до 9, делится на 4, равна $\frac{8}{81}$.