Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 1000. Найти радиус сферы.

Для решения задачи начнем с того, что прямоугольный параллелепипед описан около сферы, это означает, что сфера касается всех граней параллелепипеда. Радиус этой сферы будет являться половиной длины наибольшей диагонали параллелепипеда.

1. Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Тогда объем параллелепипеда равен:

Нам известно, что объем параллелепипеда $V = 1000$, то есть:

2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $D$ можно найти по формуле:

3. Радиус сферы, описанной около параллелепипеда, равен половине диагонали:

4. Чтобы найти $r$, нам нужно выразить $a^2 + b^2 + c^2$. Но из условия задачи мы имеем только объем параллелепипеда, а напрямую зависимость между объемом и суммой квадратов сторон нет.

Однако, если задаться предположением, что стороны параллелепипеда равны, то есть $a = b = c$, то есть кубический параллелепипед. В этом случае:

Решая для $a$, получаем:

Теперь находим диагональ $D$:

И радиус сферы будет:

Таким образом, радиус сферы равен $5\sqrt{3}$.