Что такое дробь?

Дробь — это способ записать число как часть целого или как отношение двух целых чисел. Стандартная запись: $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель (сколько частей берем), $b$ — знаменатель (на сколько равных частей разделено целое). Важно: $b \neq 0$.

Интуиция

• Разделили пиццу на 8 равных долек: одна долька — это $\tfrac{1}{8}$, три дольки — $\tfrac{3}{8}$.

• Дробь — это ещё и отношение: скорость $\tfrac{150}{3}$ км/ч означает «150 километров за 3 часа».

Виды дробей

• Правильная: числитель меньше знаменателя ($\tfrac{3}{7}$). Значение меньше 1.

• Неправильная: числитель не меньше знаменателя ($\tfrac{9}{4}$). Значение ≥ 1.

• Смешанное число: выделенная целая часть и дробная ($2\tfrac{1}{4}$ = $\tfrac{9}{4}$).

• Десятичная дробь: запись со запятой (0,25), это форма обыкновенной ($0{,}25=\tfrac{1}{4}$).

Равенство и сокращение

• Равные (эквивалентные) дроби представляют одну и ту же величину: $\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{50}{100}$.

• Сокращение — делим числитель и знаменатель на общий делитель: $\tfrac{18}{24}=\tfrac{3}{4}$.

• Расширение — умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число: $\tfrac{3}{4}=\tfrac{6}{8}$.

Сравнение дробей

• С одинаковыми знаменателями: больше та, у которой числитель больше ($\tfrac{5}{9}>\tfrac{4}{9}$).

• С разными знаменателями: приводим к общему знаменателю или сравниваем decimal-значения ($\tfrac{3}{5}=0{,}6$, $\tfrac{2}{3}\approx0{,}666\ldots$, значит $\tfrac{2}{3}>\tfrac{3}{5}$).

Арифметика

• Сложение/вычитание: приводим к общему знаменателю.
  $\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{5}{12}$.

• Умножение: перемножаем числители и знаменатели.
  $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{5}{7}=\tfrac{10}{21}$.

• Деление: умножаем на обратную дробь.
  $\tfrac{4}{5}:\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{12}{10}=\tfrac{6}{5}=1\tfrac{1}{5}$.

Дробь как число

Любая обыкновенная дробь — это вполне конкретное рациональное число на числовой прямой. У бесконечной десятичной записи (например, $0{,}\overline{3}$) тоже есть равная обыкновенная дробь ($\tfrac{1}{3}$).

Коротко: дробь — это запись числа в виде отношения двух целых, которая позволяет удобно говорить о частях целого, сравнивать величины и выполнять вычисления.