Дан куб, ребро которого равно 1 см. Найти площадь полной поверхности и длину диагонали.

Рассмотрим куб с ребром $a = 1$ см.

1. Площадь полной поверхности куба

У куба 6 граней, и каждая грань — квадрат со стороной $a$.

Площадь одной грани:

Так как граней 6, полная поверхность:

Подставляем $a = 1$ см:

Ответ по площади полной поверхности:

2. Длина диагонали куба

Обычно под «диагональю куба» понимают пространственную диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба (не лежит в одной грани).

Обозначим ребро куба $a$, а диагональ куба — $d$.

Рассуждение такое:

1. Сначала найдём диагональ квадратной грани.
   Диагональ квадрата со стороной $a$:

   $$d_{\text{грани}} = a\sqrt{2}$$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого:

   • один катет — ребро куба $a$,

   • второй катет — диагональ грани $d_{\text{грани}} = a\sqrt{2}$,

   • гипотенуза — диагональ куба $d$.

   По теореме Пифагора:

   $$d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$$

   Отсюда:

   $$d = a\sqrt{3}$$

Подставляем $a = 1$ см:

Ответ по диагонали куба:

Итоговый ответ:

• Площадь полной поверхности куба: $6\ \text{см}^2$.

• Длина диагонали куба: $\sqrt{3}\ \text{см}$.