Пропорция — это равенство двух отношений (долей, дробей). Записывают так:

где $b\neq0$, $d\neq0$. Члены слева — первая дробь (отношение), справа — вторая. В записи $a:b=c:d$ числа $a$ и $d$ называют «крайними членами» (или крайними), $b$ и $c$ — «средними».

Основное свойство пропорции

Если $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то произведение крайних равно произведению средних:

И наоборот: если $a\cdot d=b\cdot c$ при $b\neq0,\ d\neq0$, то $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Это и есть «основное свойство пропорции».

Почему это верно (два простых обоснования)

1. Из равенства дробей: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c$ — просто перемножаем на $b$ и на $d$ (перекрёстное умножение).

2. Через подобие: если $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то треугольники с соответствующими сторонами $a,b$ и $c,d$ подобны, а у подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны и перекрёстные произведения совпадают.

Полезные следствия и преобразования

Из основного свойства получаются эквивалентные пропорции (любой из пунктов можно применять свободно, не нарушая равенства):

• Перестановка средних: $a:b=c:d \ \Rightarrow\ a:c=b:d$.

• Перестановка крайних: $a:b=c:d \ \Rightarrow\ d:b=c:a$.

• Обращение пропорции: $a:b=c:d \ \Rightarrow\ b:a=d:c$.

• «Сумма/разность членов»: если $a:b=c:d$, то

  $$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d},\qquad \frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}.$$

• Деление/умножение на одно и то же число (к ≠ 0): $\dfrac{ka}{kb}=\dfrac{c}{d}$, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{kc}{kd}$.

Эти правила удобны, когда нужно выразить неизвестный член пропорции.

Как находить неизвестный член

Из $a:b=c:d$ и равенства перекрёстных произведений $ad=bc$:

Это и есть формулы «по кресту».

Примеры

1. $\dfrac{3}{5}=\dfrac{x}{10}$. По основному свойству: $3\cdot10=5\cdot x\Rightarrow x=6$.

2. $7:x=14:20$. Перекрёстно: $7\cdot20=14\cdot x\Rightarrow x=10$.

3. Проверка пропорциональности: верно ли, что