Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е. Мальчики садятся на нечетные места, а девочки - на четные. Сколькими способами они могут это сделать?

Для того чтобы решить задачу, нужно учесть несколько ключевых моментов:

1. Мальчики должны занять нечетные места, а девочки — четные. В театре 10 мест, из которых 5 нечетных и 5 четных. Номера нечетных мест: 1, 3, 5, 7, 9. Номера четных мест: 2, 4, 6, 8, 10.

2. Мальчики могут садиться на любые из 5 нечетных мест, и порядок, в котором они занимают эти места, имеет значение. Таким образом, количество способов, которыми мальчики могут занять эти 5 мест, равно количеству перестановок 5 элементов, что составляет $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

3. Аналогично, девочки могут садиться на любые из 5 четных мест, и порядок их посадки также имеет значение. Количество способов посадить девочек на эти 5 мест равно $5! = 120$.

Итак, чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для мальчиков и количество способов для девочек:
$120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400 способов.