Вычислить: sina, cosa, ctga, если tga=4 и π < a < 2π

Чтобы вычислить значения $\sin(a)$, $\cos(a)$ и $\cot(a)$, если $\tan(a) = 4$ и $\pi < a < 2\pi$, следуем пошагово:

1. Используем данное условие $\tan(a) = 4$:

   Известно, что тангенс угла $a$ равен отношению синуса к косинусу:

   $$\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}.$$

   Таким образом, $\frac{\sin(a)}{\cos(a)} = 4$, что означает, что:

   $$\sin(a) = 4 \cos(a).$$

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

   Напоминаем, что для любого угла выполняется тождество:

   $$\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1.$$

   Подставим выражение для $\sin(a)$ из предыдущего шага:

   $$(4 \cos(a))^2 + \cos^2(a) = 1,$$

   что упрощается до:

   $$16 \cos^2(a) + \cos^2(a) = 1,$$ $$17 \cos^2(a) = 1,$$ $$\cos^2(a) = \frac{1}{17}.$$

   Таким образом, $\cos(a) = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$.

3. Определяем знак $\cos(a)$ для угла в интервале $\pi < a < 2\pi$:

   Поскольку $\pi < a < 2\pi$, угол находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Следовательно, $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{17}}$.

4. Находим $\sin(a)$:

   Теперь, используя выражение $\sin(a) = 4 \cos(a)$, получаем:

   $$\sin(a) = 4 \times -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{4}{\sqrt{17}}.$$

5. Находим $\cot(a)$:

   Котангенс угла $a$ определяется как отношение косинуса к синусу:

   $$\cot(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}.$$

   Подставим найденные значения $\cos(a)$ и $\sin(a)$:

   $$\cot(a) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{17}}}{-\frac{4}{\sqrt{17}}} = \frac{1}{4}.$$

Итак, результаты следующие:

• $\sin(a) = -\frac{4}{\sqrt{17}}$,

• $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{17}}$,

• $\cot(a) = \frac{1}{4}$.