На доске написано 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из 10 чисел: 3, 8, 9, 16, 17, 17, 18, 22, 23, 31. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.

Обозначим числа на доске как
$x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.

Тогда все попарные суммы (их 10 штук) в отсортированном виде начинаются с самых маленьких сумм между наименьшими числами.

Дан набор сумм:

1) Восстановим первые три числа

Самая маленькая сумма обязательно равна $x_1+x_2$, значит:

Две следующие маленькие суммы — это суммы с участием $x_3$: $x_1+x_3$ и $x_2+x_3$. Проверим, подходит ли вариант:

Тогда можно найти $x_3$:

откуда

Теперь:

Итак, уже нашли:

2) Найдём $x_4$

Из уже использованных сумм $3,8,9$ остаются:

Самая маленькая сумма из тех, что включают $x_4$, это $x_1+x_4$. Логично сопоставить её с минимальной оставшейся суммой 16:

Проверим соседние суммы с $x_4$:

Отлично.

3) Найдём $x_5$

Самая большая сумма в списке — это $x_4+x_5$, значит: