Докажите, что при любых значениях а верны неравенства: 1 + (3a + 1)² > (1 + 2a)(1 + 4a); (3a – 2)(a + 2) < (1 + 2a)².

Давайте рассмотрим оба неравенства по очереди.

1. Неравенство: $1 + (3a + 1)^2 > (1 + 2a)(1 + 4a)$

Раскроем обе стороны неравенства.

Левая часть:

Правая часть:

Теперь сравним обе части:

Преобразуем неравенство:

Упростим:

Это неравенство всегда верно для всех значений $a$, так как квадрат любого числа всегда положителен, а 1 также положительно.

Итак, первое неравенство верно для всех значений $a$.

2. Неравенство: $(3a - 2)(a + 2) < (1 + 2a)^2$

Левая часть:

Правая часть:

Теперь сравним обе части:

Преобразуем неравенство:

Упростим:

Это неравенство всегда верно, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, а минус 5 — отрицателен. Таким образом, вторая часть неравенства тоже выполняется для всех значений $a$.

Вывод: Оба неравенства выполняются для любых значений $a$.