Найдите значение производной функции f(x)=1-6*корень 3 степени из х в точке х0=8

Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = 1 - 6 \cdot \sqrt[3]{x}$ в точке $x_0 = 8$, нужно сначала вычислить производную функции, а затем подставить в неё значение $x_0 = 8$.

1. Запишем функцию:

   $$f(x) = 1 - 6 \cdot \sqrt[3]{x}$$

   Это можно записать как:

   $$f(x) = 1 - 6 \cdot x^{1/3}$$

2. Находим производную:
   Для того чтобы найти производную, используем правило дифференцирования степенных функций. Производная от $x^{n}$ равна $n \cdot x^{n-1}$.

   Таким образом, производная от $-6 \cdot x^{1/3}$ будет:

   $$f'(x) = -6 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{-2/3}$$

   Упростим:

   $$f'(x) = -2 \cdot x^{-2/3}$$

3. Подставляем $x_0 = 8$:
   Теперь подставим значение $x_0 = 8$ в полученную производную:

   $$f'(8) = -2 \cdot 8^{-2/3}$$

4. Вычислим $8^{-2/3}$:
   Известно, что $\sqrt[3]{8} = 2$, то есть $8^{1/3} = 2$. Следовательно:

   $$8^{-2/3} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$

5. Теперь вычислим производную в точке $x_0 = 8$:

   $$f'(8) = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: значение производной функции в точке $x_0 = 8$ равно $-\frac{1}{2}$.