Найти наименьший член последовательности \( x_n = n^2 - 4n - 5 \).

Для нахождения наименьшего члена последовательности $x_n = n^2 - 4n - 5$, нужно понять, как выглядит график этой функции и где она принимает минимальное значение.

1. Анализ функции:
   Последовательность задаётся выражением $x_n = n^2 - 4n - 5$. Это квадратная функция, которая имеет вид параболы. Парабола открывается вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен.

2. Нахождение вершины параболы:
   Минимальное значение функции квадратной параболы достигается в её вершине. Для квадратичной функции $ax^2 + bx + c$ координата вершины $x$ вычисляется по формуле:

   $$n_{\text{min}} = \frac{-b}{2a}$$

   В нашем случае:

   • $a = 1$,

   • $b = -4$.

   Подставляем в формулу:

   $$n_{\text{min}} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.$$

3. Нахождение значения функции в точке $n = 2$:
   Подставляем $n = 2$ в исходное выражение для $x_n$:

   $$x_2 = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.$$

Таким образом, наименьшее значение последовательности $x_n = n^2 - 4n - 5$ равно $-9$, и оно достигается при $n = 2$.