В прямоугольном треугольнике ABC катет AC и гипотенуза AB равны 5 и 13 соответственно. Найдите значение синуса, косинуса и тангенса угла BAC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где катет AC равен 5, а гипотенуза AB — 13, нужно найти значения синуса, косинуса и тангенса угла $\angle BAC$.

1. Нахождение второго катета (BC):

   Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$13^2 = 5^2 + BC^2$$ $$169 = 25 + BC^2$$ $$BC^2 = 169 - 25 = 144$$ $$BC = \sqrt{144} = 12$$

   Таким образом, катет BC равен 12.

2. Нахождение синуса угла $\angle BAC$:

   Синус угла $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

   $$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$$

3. Нахождение косинуса угла $\angle BAC$:

   Косинус угла $\angle BAC$ равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

   $$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$$

4. Нахождение тангенса угла $\angle BAC$:

   Тангенс угла $\angle BAC$ равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

   $$\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$$

Итак, значения функций угла $\angle BAC$ следующие:

• Синус: $\sin(\angle BAC) = \frac{12}{13}$

• Косинус: $\cos(\angle BAC) = \frac{5}{13}$

• Тангенс: $\tan(\angle BAC) = \frac{12}{5}$