В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ известно, что АВ=4, ВС=6, АА₁=12. Найти длину отрезка ДК, где К — середина ребра В₁С₁.

Для того чтобы найти длину отрезка $ДК$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $К$ — середина ребра $B_1C_1$, необходимо сначала определить координаты всех ключевых точек, а затем воспользоваться формулой расстояния между точками.

1. Пусть координаты вершин прямоугольного параллелепипеда следующие:

   • $A(0, 0, 0)$

   • $B(4, 0, 0)$

   • $C(4, 6, 0)$

   • $D(0, 6, 0)$

   • $A_1(0, 0, 12)$

   • $B_1(4, 0, 12)$

   • $C_1(4, 6, 12)$

   • $D_1(0, 6, 12)$

2. Точка $К$ — середина ребра $B_1C_1$, координаты $B_1$ и $C_1$ уже известны:

   • $B_1(4, 0, 12)$

   • $C_1(4, 6, 12)$

   Для нахождения середины отрезка $B_1C_1$ вычислим среднее арифметическое координат этих двух точек:

   $$К\left( \frac{4+4}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{12+12}{2} \right) = К(4, 3, 12)$$

3. Теперь, зная координаты точек $Д(0, 6, 0)$ и $К(4, 3, 12)$, можем вычислить длину отрезка $ДК$ с помощью формулы расстояния между двумя точками:

   $$DK = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

   где $D(0, 6, 0)$ и $K(4, 3, 12)$, подставляем координаты:

   $$DK = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 6)^2 + (12 - 0)^2}$$ $$DK = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2}$$ $$DK = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Ответ: длина отрезка $ДК$ равна 13.