в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB=3, BC=3 и AA₁=6. найдите площадь треугольника AB₁D

Для того чтобы найти площадь треугольника $AB_1D$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, рассмотрим следующие данные:

1. Длины рёбер параллелепипеда:

   • $AB = 3$

   • $BC = 3$

   • $AA_1 = 6$

Параллелепипед имеет прямые углы между соседними рёбрами, поэтому его рёбра, такие как $AB$, $BC$, и $AA_1$, взаимно перпендикулярны.

Шаг 1: Определение координат вершин

Для удобства поместим параллелепипед в координатную систему, где одна из вершин $A$ будет в начале координат. Определим координаты всех точек:

• $A = (0, 0, 0)$

• $B = (3, 0, 0)$

• $C = (3, 3, 0)$

• $D = (0, 3, 0)$

• $A_1 = (0, 0, 6)$

• $B_1 = (3, 0, 6)$

• $C_1 = (3, 3, 6)$

• $D_1 = (0, 3, 6)$

Шаг 2: Векторное представление сторон треугольника $AB_1D$

Теперь найдем векторы, составляющие треугольник $AB_1D$:

• Вектор $\overrightarrow{AB_1}$ равен разности координат точек $B_1$ и $A$:

  $$\overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (3, 0, 6) - (0, 0, 0) = (3, 0, 6)$$

• Вектор $\overrightarrow{AD}$ равен разности координат точек $D$ и $A$:

  $$\overrightarrow{AD} = D - A = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0)$$

Шаг 3: Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

где $\times$ — это векторное произведение, а $\left| \cdot \right|$ — это его длина.

Найдем векторное произведение $\overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AD}$. Для этого используем формулу для векторного произведения:

Раскроем детерминант: