В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH — высота, BH = 12, sin A = 2/3. Найдите AB.

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, значит, это прямоугольный треугольник. Чтобы найти длину гипотенузы AB, используем информацию, которая дана в задаче.

1. Из условия задачи известно, что BH = 12. Это означает, что BH — это отрезок, который является частью высоты CH, опущенной из вершины C на гипотенузу AB.

2. Также нам дано, что $\sin A = \frac{2}{3}$. В прямоугольном треугольнике для угла A справедлива формула:

   $$\sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}.$$

   То есть:

   $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}.$$

   Отсюда:

   $$BC = \frac{2}{3} AB.$$

3. Теперь рассмотрим высоту CH. Она делит гипотенузу AB на два отрезка: AH и BH. Согласно свойствам высоты в прямоугольном треугольнике, произведение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно произведению длин катетов:

   $$AH \cdot BH = BC \cdot AC.$$

   Из предыдущего шага мы знаем, что $BC = \frac{2}{3} AB$.

4. Поскольку BH = 12, подставим это в формулу:

   $$AH \cdot 12 = \frac{2}{3} AB \cdot AC.$$

   Далее, используя теорему Пифагора для треугольника ABC, получаем:

   $$AB^2 = BC^2 + AC^2.$$

   Подставим $BC = \frac{2}{3} AB$ в это уравнение:

   $$AB^2 = \left( \frac{2}{3} AB \right)^2 + AC^2.$$

   Получим:

   $$AB^2 = \frac{4}{9} AB^2 + AC^2.$$

   Преобразуем это уравнение:

   $$AB^2 - \frac{4}{9} AB^2 = AC^2,$$ $$\frac{5}{9} AB^2 = AC^2.$$

   Таким образом:

   $$AC = \frac{\sqrt{5}}{3} AB.$$

5. Теперь подставим все известные значения в формулу для высоты:

   $$AH \cdot 12 = \frac{2}{3} AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} AB.$$

   Упростим это уравнение:

   $$AH \cdot 12 = \frac{2\sqrt{5}}{9} AB^2.$$

6. Чтобы найти AB, нужно решить это уравнение.