Допустим, что есть какая-то функция. Как определить, при каких значениях k прямая y=kх имеет с графиком ровно одну общую точку?

Если коротко, надо изучить уравнение пересечения

и понять, при каких $k$ оно имеет ровно один корень (одну точку пересечения с прямой $y=kx$). Удобно рассматривать функцию

Тогда все ненулевые точки пересечения — это ровно те $x$, для которых $\varphi(x)=k$.

Дальше разбираю по шагам/случаям.

1) Проверить, проходит ли график $y=f(x)$ через начало координат

• Если $f(0)\ne 0$: прямые $y=kx$ не обязаны пересекать график в начале. Все пересечения задаются уравнением $\varphi(x)=k$.

• Если $f(0)=0$: точка $(0,0)$ всегда является одной общей точкой для любого $k$. Чтобы пересечений было ровно одно, нужно, чтобы не было других решений $\varphi(x)=k$ при $x\ne 0$ (за исключением особого линейного случая ниже).

2) Главная визуальная/аналитическая картинка — уровень $\varphi(x)=k$

• Мысленно смотрим на график $y=\varphi(x)$ и проводим горизонтальную прямую $y=k$.

• Число ненулевых пересечений $f(x)=kx$ = число решений $\varphi(x)=k$.

• Значит, ровно одно пересечение с $y=kx$ получается в двух типичных ситуациях:

  1. Горизонталь $y=k$ касается графика $y=\varphi(x)$ в одной точке (касат. случай).

  2. $y=\varphi(x)$ строго монотонна на всей области (или на нужной ветви), и $k$ взят из её значения так, что уравнение $\varphi(x)=k$ имеет единственное решение.

Технический тест на касание: $\varphi(x)=k$ и $\varphi'(x)=0$. Поскольку

условие касания переписывается как

То есть «линия из начала» с углом $k$ касается графика $f$ в точке $x$, где и значение, и производная равны $k x$ и $k$ соответственно.

3) Как practically определить нужные $k$

1. Найдите $\varphi(x)=f(x)/x$ (для $x\ne 0$).

2. Изучите её монотонность по знаку $x f'(x)-f(x)$.

   • Если на всём $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (или на каждой из ветвей) $\varphi$ строго монотонна, то каждое $k$ из её диапазона даёт ровно одно ненулевое решение $\varphi(x)=k$.

   • В противном случае найдите экстремумы $\varphi$ из уравнения $x f'(x)-f(x)=0$; соответствующие значения $k$ — «пороговые» (касания). Между порогами обычно две точки пересечения, вне — ноль, на пороге — ровно одна.

3. Учтите начало координат:

   • Если $f(0)=0$: для ровно одного пересечения потребуется, чтобы $\varphi(x)=k$ не имела решений при $x\ne 0$ (то есть $k$ не лежит в образе $\varphi$). Исключение — касательная в нуле: если $f(0)=0$ и $f'(0)=k$, и других решений нет, то тоже одна общая точка (с касанием в нуле).

   • Если $f(0)\ne 0$: просто выбирайте $k$ так, чтобы $\varphi(x)=k$ имело ровно одно решение (см. монотонность/касания выше).

4) Особые случаи

• Линейная функция $f(x)=ax+b$.

  • Если $b\ne 0$: $f(x)=k$