Умножить число m на n

Если коротко: произведение — это результат умножения числа $m$ на число $n$. Обозначается $m \cdot n$ или $mn$.

Что это значит формально

• Для целых чисел:
  Если $n \ge 0$, то $m \cdot n$ — это сумма $m$, взятая $n$ раз:

  $$m \cdot n = \underbrace{m + m + \dots + m}_{n\ \text{раз}}$$

  Если $n < 0$, то $m \cdot n = -(m \cdot |n|)$.

• Знаки:
  $(+)\cdot(+)=+$, $(+)\cdot(-)=-$, $(-)\cdot(+)=-$, $(-)\cdot(-)=+$.

• Нулевые и единичные случаи:
  $m\cdot 0 = 0$, $m\cdot 1 = m$, $m\cdot (-1) = -m$.

• Свойства:
  Коммутативность $m\cdot n = n\cdot m$, ассоциативность $(m\cdot n)\cdot k = m\cdot(n\cdot k)$, дистрибутивность $m\cdot(a+b)=m\cdot a+m\cdot b$.

Пример «в столбик» (длинное умножение)

Умножим $m=372$ на $n=48$:

1. $372 \times 8 = 2976$

2. $372 \times 40 = 14880$ (сдвиг на один разряд)

3. Складываем: $2976 + 14880 = 17856$.
   Итог: $372 \cdot 48 = 17856$.

Пример со знаком

$m=37$, $n=-24$:
$37\times 24 = 888$, знак минус один раз ⇒ результат $-888$.

Вещественные числа (с запятой/точкой)

• Умножьте как целые, а затем перенесите запятую на сумму разрядов после запятой у множителей.
  Пример: $12{,}3 \times 0{,}45$.
  Считаем как $123 \times 45 = 5535$.
  После запятой суммарно 3 разряда ⇒ $5{,}535$.

Быстрые способы в уме (частные случаи)

• Умножение на 10/100/1000 — просто добавьте нули (или сдвиньте запятую).

• На 5: умножьте на 10 и поделите на 2.

• На 9: умножьте на 10 и вычтите исходное число.

• На 11 (для двузначных): цифры складываются между собой и вставляются между ними, учитывая переносы (например, $72\times11=792$).

Алгоритмы и код

Повторное сложение (учебный, для целых):

python
Копировать код
def multiply(m, n):
    sign = -1 if (m < 0) ^ (n < 0) else 1
    m, n = abs(m), abs(n)
    # делаем меньшее количество сложений
    if m < n:
        m, n = n, m
    res = 0
    for _ in range(n):
        res += m
    return sign * res

Быстрое умножение с битовыми сдвигами (алгоритм «русского крестьянина»):

python
Копировать код
def mul(a, b):
    sign = -1 if (a < 0) ^ (b < 0) else 1
    a, b = abs(a), abs(b)
    res = 0
    while b > 0:
        if b & 1:
            res += a
        a <<= 1   # a = a * 2
        b >>= 1   # b = b // 2
    return sign * res

На любом языке «в лоб»:

• Python: m * n

• C/C++: m * n

• JavaScript: m * n

• Java/Kotlin/C#: m * n

О погрешностях и переполнении

• В целочисленных типах фиксированной ширины (например, 32-бит int) результат может переполниться. Для больших значений используйте типы большего размера (int64) или «длинную арифметику»/BigInteger.

• В вещественных типах (float/double) возможна плавающая погрешность. Для финансовых расчётов используйте десятичные типы (Decimal) или работу в целых копейках/центах.

Краткий чек-лист

1. Определите знаки и поставьте итоговый знак.

2. Умножьте модули (столбиком, алгоритмом выше или оператором *).

3. Для десятичных — корректно поставьте запятую.

4. Проверьте переполнение/погрешность при нужной точности.

Итого: чтобы умножить число $m$ на $n$, используйте $mn$ (оператор *), учитывая знак, типы данных и желаемую точность.