Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей.

Рассмотрим два натуральных числа $a$ и $b$.

Через определение делимости.
По определению, число $x$ кратно числу $y$, если существует целое $k$ такое, что $x = y\cdot k$.

• Для произведения $ab$ имеем

  $$ab = a\cdot b = a\cdot (\underbrace{b}_{\text{целое}})$$

  Значит, $ab$ представимо как $a$ умножить на целое число $b$. Следовательно, $a\mid ab$ — то есть $ab$ кратно $a$.

• Аналогично

  $$ab = b\cdot a = b\cdot (\underbrace{a}_{\text{целое}})$$

  Поэтому $b\mid ab$ — то есть $ab$ кратно $b$.

Так как $a$ и $b$ — натуральные (а значит, целые), оба представления корректны, и произведение $ab$ кратно каждому из множителей.

Интуитивный взгляд (через сложение).
Произведение $ab$ — это сумма $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$:

Сумма нескольких одинаковых слагаемых $a$ всегда кратна $a$. Точно так же

и эта сумма кратна $b$.

Оба рассуждения приводят к одному выводу: $ab$ кратно и $a$, и $b$.