Докажите, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC$. Проведём медиану $AD$ к основанию $BC$, то есть точку $D$ возьмём на $BC$ так, что $BD=DC$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. В них:

• $AB=AC$ — по условию равнобедренности;

• $BD=DC$ — по определению медианы;

• $AD$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по трём сторонам (SSS). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов при вершине $A$: $\angle BAD=\angle DAC$.

А это и означает, что луч $AD$ делит угол при вершине $A$ пополам, то есть $AD$ — биссектриса угла, противолежащего основанию. Что и требовалось доказать.