Даны два треугольника. Каждый угол первого треугольника равен разности каких-то двух углов второго. Докажите, что первый треугольник – равнобедренный или прямоугольный.

Обозначим углы второго треугольника через $\alpha,\beta,\gamma$ (в градусах), где $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Каждый угол первого треугольника равен разности каких-то двух углов из $\{\alpha,\beta,\gamma\}$. Разности, годные на роль углов, неотрицательны, поэтому при необходимости переименуем $\alpha\ge\beta\ge\gamma$. Тогда все возможные положительные разности — это ровно три числа:

причём $\alpha-\gamma=(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)$.

Рассмотрим два случая.

1) Среди углов первого треугольника есть два равных.
Тогда первый треугольник равнобедренный — требуемое.

2) Все три угла первого треугольника попарно различны.
Тогда они не могут брать значения из одной и той же разности (иначе были бы равны), а различных положительных разностей из $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ всего три — значит, углы первого треугольника в некотором порядке равны

Их сумма равна

Но сумма углов любого треугольника — $180^\circ$, следовательно,

Значит, один из углов первого треугольника равен $\alpha-\gamma=90^\circ$, то есть первый треугольник прямоугольный.

Итак, в любом случае первый треугольник либо равнобедренный (если два его угла совпали), либо прямоугольный (если все три различны). Что и требовалось доказать.